Ont-elles des solutions ? - Corrigé

Énoncé

Les équations suivantes, d'inconnue \((x;y) \in \mathbb{Z}^2\) , admettent-elles des solutions ? Justifier.

1. \((E_1) \colon 7x+8y=4\)

2. \((E_2) \colon 15x-27y=12\)

3. \((E_3) \colon 44x+11y=32\)

Solution

1. On a \(\mathrm{PGCD}(7;8)=1\) , et \(1\) divise \(4\) , donc l'équation \((E_1)\) admet au moins une solution dans \(\mathbb{Z}^2\) .

2. On a \(\mathrm{PGCD}(15;-27)=\mathrm{PGCD}(15;27)=3\) (on peut s'en convaincre en effectuant l'algorithme d'Euclide), et \(3\) divise \(12\) , donc l'équation \((E_2)\) admet au moins une solution dans \(\mathbb{Z}^2\) .

3. On a \(\mathrm{PGCD}(11;44)=11 \times \mathrm{PGCD}(1;4)=11 \times 1=11\) , et \(11\) ne divise pas \(32\) , donc l'équation \((E_3)\) n'a pas de solution dans \(\mathbb{Z}^2\) .